Основні теореми зі стереометрії

Теорема 1.1. Через пряму і точку, яка не лежить на ній, можна провести площину і до того ж тільки одну.

Доведення

а – дана пряма, т.ВÏа. Візьмемо на прямій а яку небудь точку А.

АÎа, така точка існує за аксіомою І₁. Через точки А і В проведемо пряму b (за аксіомою І₂). Ці дві прямі різні, оскільки точка В прямої b не лежить на прямій а. Прямій а і b мають спільну точку А. аÇb=А. Через ці дві прямі а і b проведемо площину a (за аксіомою С3). Ця площина проходить через пряму а і точку В.

Доведемо, що a єдина. Припустимо, що існує інша площина a¢, яка проходить через пряму а і точку В. За аксіомою С₂ aÇa¢ по прямій. Отже, будь-які три спільні точки площини a і a¢ лежать на прямій а. Але відомо, що ВÏа. Ми прийшли до суперечності.

 

Теорема 1.2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

Доведення

Дано: а, a

За аксіомою І₁ існує точка АÏа. Через пряму а і точку А проведемо площину a¢. Якщо a=a¢ то  a Ì а (a містить а), що й стверджує теорема.  Якщо a і a¢ різні то  a Ç a¢=а¢, яка містить дві точки прямої а. За аксіомою І₂ а¢=а Þ аÎa.

Наслідок: площина і пряма, яка не лежить на ній, або не перетинаються, або перетинаються в одній точці.

Якщо рівну лінійку в двох точках прикласти до гарно відполірованої плоскої поверхні то лінійка повністю ляже на цю поверхню.

 Теорема 1.3. Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того ж тільки одну.

Доведення

Дано три точки А, В, С, що не належать одній прямій. Проведемо прямі АВ і АС вони різні бо точки А,В,С не лежать на одній прямій. За аксіомою С₃ через прямі АВ і АС можна провести площину a. Ця площина містить точки А,В,С. Доведемо, що ця площина єдина. За теоремою 1.2. площина яка проходить через точки А,В,С містить прямі АВ і АС. За аксіомою С₃ ця площина єдина.

 Взаємне розміщення прямої і площини

 

Для зображення просторових фігур на площині, як правило, користуються паралельним проектуванням.

Властивості зображення фігур на площині.

1.     Прямолінійні відрізки фігури зображаються на площині малюнка прямолінійними відрізками.

2.     Паралельні відрізки фігури зображаються на площині малюнка паралельними відрізками.

3.     Відношення відрізків однієї прямої або паралельних прямих зберігається при паралельному проектуванні.

4.     На малюнку не зберігається: величина кута, довжина відрізка не паралельна  площині проекції.

5.     Всі правильні і неправильні D зображаються довільними D. Коло – еліпсом. Квадрат, ромб, прямокутник, паралелограм – паралелограмом, правильні і неправильні трапеції – довільною трапецією.